একটি বস্তুকে  \(u\) বেগে উল্লম্বরেখায় ঊর্ধ্বাভিমুখী নিক্ষেপ করা হলে এটি যতই উপরে উঠতে থাকে, ততই ইহার বেগ ক্রমশ কমতে থাকে এবং অবশেষে শূন্য হয়, যখন এর উচ্চতা সর্বাধিক হয়। এর পর বস্তুটি আবার নীচের দিকে পড়তে থাকে এবং এর বেগ ক্রমশ বাড়তে থাকে।

ধরাযাক, কণাটির সর্বাধিক উচ্চতা \(H\) এবং এই উচ্চতায় পৌঁছাতে \(T\) সময় লাগে।

এখানে কণাটির,

প্রাথমিক বেগ \( = u\)

অন্তিম বেগ \( = 0\)

অতিক্রান্ত উচ্চতা \( = H\)

এই উচ্চতায় পৌঁছাতে সময় লাগে \( = T\)

সুতরাং \(0 = u - gT\)

বা, \(T = \frac{u}{g}\) ... ... ... ... ... (i)

এবং \({\left( 0 \right)^2} = {u^2} - 2gH\)

বা, \(H = \frac{{{u^2}}}{{2g}}\) ... ... ... ... ... ... (ii)

কণাটি যখন নীচের দিকে নামতে শুরু করে, ভূ-পৃষ্ঠ থেকে তখন এর উচ্চতা  \(\frac{{{u^2}}}{{2g}}\) এবং এর বেগ শূন্য হয়। নিম্নদিকের স্থানাঙ্ককে ধনাত্বক ধরলে এর ত্বরণ হয় \( + g\)। যদি পতনকাল \(T'\) এবং পুনরায় ভূ-পৃষ্ঠে এসে এর বেগ \(v\) হয়, তবে আমরা\(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\) অনুযায়ী পাই

\(H = 0 \times T' + \frac{1}{2} \times g \times {T'^2}\)

বা, \(H = \frac{1}{2}g{T'^2}\)

বা, \(\frac{{{u^2}}}{{2g}} = \frac{1}{2}g{T'^2}\) [\(H = \frac{{{u^2}}}{{2g}}\)]

বা, \({T'^2} = \frac{{{u^2}}}{{{g^2}}}\)

বা, \(T' = \frac{u}{g}\) ... ... ... ... ... ... ... .... .... (iii)

সুতরাং ঊর্ধ্বে নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে উত্থানকাল  =  পতনকাল = \(\frac{u}{g}\)

এবং শূন্যে মোট চলনকাল =  \(\frac{u}{g} + \frac{u}{g} = \frac{{2u}}{g}\)

এবার \({v^2} = {u^2} - 2as\) সমীকরণ অনুযায়ী পাই

\({v^2} = {\left( 0 \right)^2} + 2gH\)

বা, \({v^2} = 2g \times \frac{{{u^2}}}{{2g}}\) [\(H = \frac{{{u^2}}}{{2g}}\)]

বা, \({v^2} = {u^2}\)

বা, \(v = u\) ... ... ... ... ... ... ... ... (iv)

সুতরাং ঊর্ধ্বে নিক্ষেপকালে কোনো বস্তুর বেগ = ভূ-পৃষ্ঠে পুনরায় অবাধ পতনের ফলে পৌঁছানোর সময়কালে বেগ

ধরাযাক, কোনো বস্তুকে উল্লম্বরেখায় ঊর্ধ্বে নিক্ষেপ করা হল এবং \(t\) সময় পরে প্রাথমিক অবস্থান থেকে \(h\) উচ্চতায় কোনো বিন্দুতে আসিল। ঊর্ধ্বাভিমুখকে ধনাত্বক ধরিলে বস্তুটির ত্বরণ হয় \( - g\)।

এখন \(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\) সমীকরণ অনুযায়ী পাই

\(h = ut - \frac{1}{2}g{t^2}\)

বা, \(\frac{1}{2}g{t^2} - ut + h = 0\)

বা, \(g{t^2} - 2ut + 2h = 0\)

\(\therefore t = \frac{{u \pm \sqrt {{u^2} - 2gh} }}{g} = \frac{u}{g} \pm \frac{{\sqrt {{u^2} - 2gh} }}{g}\)

এখানে \(t\) এর দুটি মান পাওয়া যায়। একটি \(\frac{u}{g} + \frac{{\sqrt {{u^2} - 2gh} }}{g}\) এবং অন্য একটি \(\frac{u}{g} - \frac{{\sqrt {{u^2} - 2gh} }}{g}\)। কারণ বস্তুটি \(h\) উচ্চতায় দুইবার আসে। একবার উপরের দিকে উঠবার সময়, যখন \(t\) এর মান \(\frac{u}{g}\) অপেক্ষা কম হয় এবং আর একবার সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছানোর পর নীচের দিকে নামার সময়, যখন \(t\) এর মান \(\frac{u}{g}\) অপেক্ষা বেশী হয়।

সুতরাং উল্লম্বপথের কোনো বিন্দু থেকে সর্বাধিক উচ্চতায় আসতে যে সময় লাগে, তা সর্বাধিক উচ্চতা থেকে ওই বিন্দুতে আবার ফিরে আসার সময়ের সমান হয়।

ধরাযাক, \(u\) বেগে কোনও বস্তুকে উল্লম্বরেখায় উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হল। ধরাযাক প্রাথমিক অবস্থান থেকে বস্তুটি যখন \(h\) উচ্চতায় তখন উহার বেগ \(v\)। উপরের দিককে স্থানাঙ্কের ধনাত্বক ধরা হলে আমরা পাই

\({v^2} = {u^2} - 2gh\)

বা,  \(v =  \pm \sqrt {{u^2} - 2gh} \)

এখানে ধনাত্বক মানটি উপরের দিকে উঠবার সময় বেগকে নির্দেশ করে এবং ঋনাত্বক মানটি নীচের দিকে নামার সময় ওই বিন্দুতে বস্তুটির বেগকে নির্দেশ করে। এখানে দেখা যায় বস্তুটির পথের কোনো বিন্দুতে উঠবার সময় বা নামার সময় বেগ সর্বদা সমান হয়।

ধরাযাক একটি কণা উচ্চতম বিন্দু থেকে উল্লম্বভাবে নিম্নতম বিন্দু পর্যন্ত পড়তে মোট \(t\) সেকেন্ড সময় লাগে। ধরাযাক \(t\) তম সেকেন্ডে \({s_t}\) পরিমান দূরত্ব অতিক্রম করে। 

এখন \(t\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব  \( = ut - \frac{1}{2}g{t^2}\)

এবং \(\left( {t - 1} \right)\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \( = u\left( {t - 1} \right) - \frac{1}{2}g{\left( {t - 1} \right)^2}\)

\(\therefore t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \({s_t} = \frac{1}{2}g{t^2} - \frac{1}{2}g{\left( {t - 1} \right)^2} = \frac{1}{2}g\left( {2t - 1} \right)\)

বস্তুটিকে ভূমি থেকে কোনো উচ্চতা যেমন, মিনার, বাড়ীর ছাদ ইত্যাদি থেকে ছেড়ে দেওয়া হলে তার অতিক্রান্ত উচ্চতা, গতিবেগ এবং ত্বরণের সঙ্গে সময়ের লেখচিত্র (Body is dropped from some Height)

অতিক্রান্ত দূরত্ব ও সময়ের লেখচিত্র:

(1) শুধুমাত্র অভিকর্ষের প্রভাবে কোনো বস্তু গতিশীল হলে তার ভর, ত্বরণ, যান্ত্রিক শক্তির কোনও পরিবর্তন ঘটে না কিন্তু বস্তুটির গতির দ্রুতি, গতিবেগ, ভরবেগ, গতিশক্তি, স্থিতিশক্তি পরিবর্তিত হয়।

(2) এখানে গতির সমীকরণগুলি লক্ষ্য করলে দেখা যায় সবগুলিতেই বস্তুটির ভর নিরপেক্ষ। তাই যেকোনও হালকা বস্তু বা ভারী বস্তুকে কোনও একটি উচ্চতা থেকে একসাথে ছাড়া হলে তারা একই সময়ে এবং একই অন্তিম বেগ নিয়ে ভূমিতে পতিত হবে। এক্ষেত্রে পতনকাল \(t = \sqrt {\frac{{2h}}{g}} \) এবং ভূমি স্পর্শ করার ঠিক পূর্ব মুহূর্তে বেগ \(v = \sqrt {2gh} \)

(3) শুধুমাত্র অভিকর্ষ বলের প্রভাবে উল্লম্বভাবে গতিশীল বস্তুর ক্ষেত্রে যখন বস্তুটিকে উপরের দিকে একটি প্রাথমিক বেগ নিয়ে ছোঁড়া হয় তখন কোনো একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা আরোহণ করতে যে সময় লাগে, তা বস্তুটির অবতরণকালের সমান হয়। অর্থাৎ উত্থানকাল (\({t_1}\)) = পতনকাল (\({t_2}\)) = \(\frac{u}{g}\)

(4) শুধুমাত্র অভিকর্ষ বলের প্রভাবে উল্লম্বভাবে গতিশীল বস্তুর ক্ষেত্রে যখন একটি বস্তুকে উপরের দিকে ছোঁড়া হয় তখন তার নিক্ষেপ বেগ (\(u\)) এবং বস্তুটি যখন আবার সেখানে ভূমিতে এসে পৌঁছায় তার ঠিক পূর্ব মুহূর্তের বেগের সমান হয়।

(5) \(h\) উচ্চতা থেকে একটি বস্তুকে ছাড়া হলে বস্তুটি \(t\) সময় পর ভূমিতে পৌঁছায়। ওই একই উচ্চতা থেকে একটি বস্তুকে উপরের দিকে একটি বেগ \(v\) নিয়ে নিক্ষেপ করা হলে বস্তুটি \({t_1}\) সময় পর ভূমিতে পৌঁছায়। আবার বস্তুটিকে একই উচ্চতা থেকে একই বেগ নিয়ে নিম্ন অভিমুখে নিক্ষেপ করা হলে বস্তুটি \({t_2}\) সময় পর ভূমিতে পৌঁছায়। তাহলে সর্বদা \(t = \sqrt {{t_1}{t_2}} \) হবে।

(6) কোনও বস্তুকে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে বস্তুটির উপর অভিকর্ষজ ত্বরণ সর্বদা নিম্ন অভিমুখে ক্রিয়া করে এবং বায়ুর বাধা জনিত বলের ক্রিয়ার ত্বরণ (\(a\)) বস্তুটির গতির অভিমুখের বিপরীতে অর্থাৎ নিম্ন অভিমুখে ক্রিয়াশীল হয় যা বস্তুটিকে উপরে দিকে উঠতে বাধা দেয়।
আবার বস্তুটি যখন সর্বোচ্চ অবস্থানে ওঠার পর নিম্ন অভিমুখে পড়তে থাকে তখন অভিকর্ষ ত্বরণ নিম্ন অভিমুখে এবং বাধার বাধা জনিত বলের ত্বরণ (\(a\)) তখন ঊর্ধ্ব অভিমুখে ক্রিয়াশীল হয়। তাই এক্ষেত্রে উত্থানকাল (\({t_1}\)) সর্বদা পতনকাল (\({t_2}\)) অপেক্ষা কম হয় অর্থাৎ \({t_1} < {t_2}\)
বস্তুটির নিক্ষেপ বেগ (u) হলে উত্থানকাল (\({t_1}\)) হয়  \({t_1} = \frac{u}{{\left( {g + a} \right)}}\) এবং অতিক্রান্ত উচ্চতা (\(h\)) = \(\frac{{{u^2}}}{{2\left( {g + a} \right)}}\)
এবং পতনের সময় \(H = \frac{1}{2}\left( {g - a} \right)t_2^2\)
সুতরাং \(\frac{{{u^2}}}{{2\left( {g + a} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {g - a} \right)t_2^2\)
বা, \({t_2} = \frac{u}{{\sqrt {\left( {g + a} \right)\left( {g - a} \right)} }}\)

(7) একটি বস্তুকে কোনও উচ্চতা থেকে ছাড়া হলে প্রতি মিটার উচ্চতা অবতরণকালে সময় নেয় যথাক্রমে \(\sqrt 1 ,\left( {\sqrt 2  - \sqrt 1 } \right),\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right),\left( {\sqrt 4  - \sqrt 3 } \right),......\)

Problem Solving Techniques of Free Fall Under The Gravity:

 When a body falls under gravity (due to pull of Earth), the Acceleration (a) in the different Kinematics Equation is replaced by "g". Take downward direction as positive and Upward direction to be negative. However, remember following cases for assigning '+' and '-' to "g", "u" and "s or h".

যখন একটি বস্তুকে ভূমি থেকে নিক্ষেপ করা হয় (When a body is thrown up from the ground):

Here u and h taken positive and "g" is taken as negative

Here the Kinematics Equations are:

(1) \(v = u - gt\)

(2)  \(h = ut - \frac{1}{2}g{t^2}\)

(3)  \({v^2} = {u^2} - 2gh\)

(4) \({h_n} = u - \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)

বস্তুটিকে যেখান থেকে ছোঁড়া হয় সেখানে মুলবিন্দু ধরে বস্তুটির প্রাথমিক বেগ (u) এবং অতিক্রান্ত উচ্চতা (h) কে ধনাত্বক এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ (g) কে নিম্নদিকে ক্রিয়াশীল হওয়ায় একে ঋনাত্বক ধরা হয়। অর্থাৎ

প্রাথমিক বেগ (u): ধনাত্বক

অতিক্রান্ত উচ্চতা (h): ধনাত্বক

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g): ঋনাত্বক

তাই এখানে গতির সমীকরণগুলি হয়

 (1) \(v = u - gt\)

(2)  \(h = ut - \frac{1}{2}g{t^2}\)

(3)  \({v^2} = {u^2} - 2gh\)

(4) \({h_n} = u - \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)

When a body is thrown up from an elevation or a height (like roof of a building) or when a body is released from a rising balloon or a helicopter (with uniform speed), when it is at a height "h" above the ground and the body finally hits the ground.

Here "u" is taken negative.

"g" and "h" are taken positive.

Here the kinematics equations are

(a) \(v =  - u + gt\)

(b)  \(h =  - ut + \frac{1}{2}g{t^2}\)

(c)  \({v^2} = {u^2} + 2gh\)

(d) \({h_n} =  - u + \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)

একটি বস্তুকে কোনো উচ্চতা "h" থেকে ঊর্দ্ধে ছোঁড়া হল এবং অবশেষে বস্তুটি  ভূমিতে পতিত হয় (When a body is thrown up from an elevation.)

একটি বস্তুকে "h" উচ্চতার কোনো বাড়ীর ছাদ থেকে ঊর্দ্ধে ছোঁড়া হল এবং অবশেষে বস্তুটি ভূমিতে হয় (When a body is thrown up from a height, roof, buildings):

সমবেগে ঊর্দ্ধে গতিশীল একটি বেলুন থেকে কোনো বস্তুকে ছাড়া হল যখন বেলুনটি ভূমি থেকে 'h' উচ্চতায় অবস্থিত থাকে এবং বস্তুটি ভূমিতে পতিত হয় (When a body is released from a rising balloon with uniform speed):

সমবেগে ঊর্দ্ধে গতিশীল একটি হেলিকপ্টার থেকে কোনো বস্তুকে ছাড়া হল যখন হেলিপক্টারটি ভূমি থেকে "h" উচ্চতায় অবস্থিত থাকে এবং অবশেষে বস্তুটি ভূমিতে পতিত হয় (When a body is release from a helicopter with uniform speed):

এখানে

প্রাথমিক বেগ (u): ঋনাত্বক

অতিক্রান্ত উচ্চতা (h): ধনাত্বক

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g): ধনাত্বক

তাই এখানে গতির সমীকরণ গুলি হল:

(a) \(v =  - u + gt\)

(b)  \(h =  - ut + \frac{1}{2}g{t^2}\)

(c)  \({v^2} = {u^2} + 2gh\)

(d)  \({h_n} =  - u + \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)

When a body is thrown down from an elevation or height "h", so that it hits the ground. Here "u", "g" and "h" are taken all positive

The kinematics equation are

(a) \(v = u + gt\)

(b) \(h = ut + \frac{1}{2}g{t^2}\)

(c) \({h_n} = \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)

(d) \({h_n} = u + \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)

একটি বস্তুকে কোনো উচ্চতা "h" থেকে নিম্ন অভিমুখে ছোঁড়া হল এবং অবশেষে বস্তুটি ভূমিতে পতিত হয় (When a body is thrown down from an elevation):

একটি বস্তুকে "h" উচ্চতার কোনো বাড়ীর ছাদ থেকে নিম্ন অভিমুখে ছোঁড়া হল এবং বস্তুটি অবশেষে ভূমিতে পতিত হয় (When a body is thrown down from a height, roof or buildings):

এখানে প্রাথমিক বেগ (u): ধনাত্বক

অতিক্রান্ত উচ্চতা (h): ধনাত্বক

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g): ধনাত্বক

তাই এখানে গতির সমীকরণগুলি হল:

(a)  \(v = u + gt\)

(b)  \(h = ut + \frac{1}{2}g{t^2}\)

(c)  \({v^2} = {u^2} + 2gh\)

(d) \({h_n} = u + \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)

 Case: 4

When a body is just released from a height "h" above the ground. Then here "u"=0 and "g" and "h" are taken positive.

The kinematics equations are

(a) \(v = gt\)

(b) \(h = \frac{1}{2}g{t^2}\)

(c) \({v^2} = 2gh\)

(d) \({h_n} = \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)

একটি বস্তুকে ভূমি থেকে কোনো উচ্চতা 'h' যেমন বাড়ীর ছাদ, মিনার ইত্যাদি থেকে ছাড়া হলে

প্রাথমিক বেগ (u):=0

অতিক্রান্ত উচ্চতা (h): ধনাত্বক

অভিকর্ষজ ত্বরণ (g): ধনাত্বক

তাই এখানে গতির সমীকরণগুলি হল

(a)   \(v = gt\)

(b) \(h = \frac{1}{2}g{t^2}\)

(c)  \({v^2} = 2gh\)

(d)  \({h_n} = \frac{1}{2}g\left( {2n - 1} \right)\)